信号与系统

输入系统输出

第一章：基本信号与系统

基本信号

• 冲激信号
• 正弦信号
• 连续时间复指数信号
• 离散时间复指数信号

系统

用系统对基本信号的响应表示系统
对冲激信号的响应称为冲激响应
对正弦信号的响应称为频率响应
对复指数信号的响应称为系统函数

非线性系统有没有冲激响应
对于非线性系统，其输出与输入之间不一定成线性关系。因此，即使输入是单位冲激信号，系统的输出也不一定是冲激响应。
但是，对于某些非线性系统，可以近似地定义冲激响应。例如，对于弱非线性系统，其输出可以表示为线性部分与非线性部分的叠加：

$$y(t) = x(t) * h(t) + f(x(t))$$

其中，h(t) 是系统的线性冲激响应，f(x(t)) 是非线性部分。在这种情况下，可以将 h(t) 视为非线性系统的近似冲激响应

信号分类

• continuous-time signals
• discrete-time signals
  时间连续信号采样变为时间离散信号（振幅仍然连续，称为离散时间信号）再对振幅进行量化（称为量化信号，时间振幅均离散，也称为离散时间信号）,对振幅进行编码，称为数字信号

信号基本运算

• 时移：左加右减，只对 t 操作
• 时间尺度变换，表示曲线水平方向伸长三倍

• 注意离散时间信号 n/3 必须为整数，不是整数的舍去

• 反转：t -> -t 关于 y 轴反转

常用信号

单位阶跃信号

$$u(t)=\begin{cases} 1 & \text{if } t>0 \\ 0 & \text{if } t < 0 \end{cases}$$

t=0 时函数值未定义
因果信号
发生时移 u(t-t0)
窗函数 u(t-t0)-u(t-t1)
对离散信号 n>=0 时 u(n)=1,对应非因果信号为 u(-n-1)因为 n=0 时不能两边都有

单位冲激信号

$$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)dt=1 \\\ \delta(t)=0,t\neq 0$$

采样
在功能上
单位冲激信号积分为单位阶跃信号

系统分类与特性

研究线性时不变系统，LTI 系统

• 线性：可加性，齐次性

• 时不变：输入为 x(t-t0),输出为 y(t-t0)

  注意看输出中是以横坐标 t，纵坐标 x(t-t0)为基准

因果系统：当前输出只和此刻和以前时刻的输入有关
稳定系统：输入有界，输出也有界